domingo, 2 de febrero de 2014

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS

SIMBOLIZACION DE CONECTORES LOGICOS
OBJETIVO: Utiliza la lógica para simbolizar conectores lógicos y facilitar su manejo, sin analizar sus valores de verdad.

Son operadores lógicos los siguientes:

  • CONJUNCIÓN
  • DISYUNCIÓN
  • DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
  • NEGACIÓN
  • CONDICIONAL
  • BICONDICIONAL

CONJUNCIÓN: Es la unión de dos proposiciones con la palabra "y" se denomina conjunción. 

ejemplo: Sus ojos son azules y los ojos de su hermano también son azules.
Es también útil introducir un símbolo para "y" , los mas comunes son: 
(^) y (&) 

DISYUNCIÓN: Es la unión de la proposiciones con la palabra "o", se denomina disyunción de las proposiciones.
ejemplo: " Esta es el aula cuatro o es una aula de física " 
El símbolo que utilizamos para la disyunción es : (v), (F) o (R)

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Utilizamos el mismo ejemplo, si utilizamos la misma proposición.
Sea F la proposición " Esta es el aula cuatro" 
y sea R la proposición " Esta es un aula de física" 

NEGACIÓN: Cuando a una proposición se le añade el termino de enlace
"no", el resultado se denomina negación de la proposición.  Así una negación es una proposición compuesta que utiliza  el  conector  lógico "no". El termino de enlace "no" es análogo a los otros conectores  lógicos puesto que forman proposiciones compuestas . 
ejemplo: "Las elecciones presidenciales no siempre terminan en agonía"
se lo simboliza:  ¬ ~ la proposición del ejemplo queda simbolizada como  ¬ (p) y ~ (p).


CONDICIONAL: La palabra "si" procede a la primera proposición, y la palabra "entonces" procede a la segunda proposición. 

Se lo simboliza:  \Rightarrow  así  ←  La primera proposición simple es "llueve hoy" y 
la segunda proposición simple es "se suspende el picni".  
Para poder simbolizar completamente esta proposición condicional, emplearemos el símbolo siguiente para el conector lógico. 
  

¬p → Q 

Si hoy no es lunes entonces Pedro sabe matemáticas

(s^¬ Q)  →p 

Si Ruth tiene 18 años y Pedro no sabe matemáticas entonces es lunes. 


BICONDICIONAL: Cuando se unen dos proposiciones mediante las palabras : " ...si y solo si.." se encuentran entre dos proposiciones simples. El signo aparece como 2 signos condicionales que van en sentido opuesto. Efectivamente, una proposición bicondicional se parece extraordinariamente a 2 proposiciones condicionales. 

ejemplo: " Estos campos se inundan si y solo si el agua alcanza esta altura".  Se escogen las letras mayúsculas para las proposiciones simples. 

p= "Estos campos se inundan" 
                                                pq                 
q= " El agua alcanza esta altura"    
Ahora vemos que es equivalente a tener:

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MATEMÁTICA LOGICA

LÓGICA MATEMÁTICAS

La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

EN QUE SE DIVIDE:
La lógica matemática suele dividirse en cuatro  teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

TABLAS DE VERDAD

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

EJEMPLO:

Verdadero



El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado.

 Falso
El valor falso se representa con la letra F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.a asignar a sus componentes.
Variable
Para una variable lógica A, B, C, ... que pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:


\begin{array}{|c||c|} A & A \\ \hline V & V \\ F & F \\ \hline \end{array}
Negación
La negación es un operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.


\begin{array}{|c||c|} A & \neg A \\ \hline V & F \\ F & V \\ \hline \end{array}




Conjunción

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típica mente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas

La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \and B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \hline \end{array}


Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.
Disyunción
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.




                                                            \begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \or B \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \hline \end{array}
Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Implicación o Condicional









El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

\begin{array}{|c|c||c|} A & B & A \to B \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \hline \end{array}
Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.
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Factorización

Factorización

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
  • Binomios
  1. Diferencia de cuadrados
  2. Suma o diferencia de cubos
  3. Suma o diferencia de potencias impares iguales
  • Trinomios
  1. Trinomio cuadrado perfecto
  2. Trinomio de la forma x²+bx+c
  3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
  • Polinomios
  1. Factor común
  2. Triángulo de Pascal como guía para factorizar

Caso 1 - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
a^2+a b = a (a+b)
9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuesta es:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,
Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy\,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2\,
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x - 5y)^2\,
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
(ay-bx)(ay+bx)= (ay)^2-(bx)^2 \,
O en una forma más general para exponentes pares:
(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,
Ejemplo 1:
9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.
(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= \,
((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= \,
((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) \,
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
No se pudo entender(error léxico): x²+xy+y²=x²+xy+y²+(xy-xy)=x²+2xy+y²-xy=(x+y)²-xy\,

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,
Ejemplo:
x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,
Ejemplo:
x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:
x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,
Ejemplo:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,
a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
4x^2+12x+9\,
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :
4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\
4^2x^2+12x(4)+36\,
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
6\cdot6=36
6+6=12\,
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
(4x+6)(4x+6)\,
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :
\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\, :=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,
Queda así terminada la factorización :
(2x+3)(2x+3)\, : =(2x+3)^2\,

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,
(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,

Caso X - Divisores binómicos

Su proceso consiste en los siguientes pasos.

Posibles ceros

Artículo principal: Divisores binómicos
En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente[1] entre los divisores del coeficiente principal[2] y se dividen uno por uno.
Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo.

Si el enunciado es este:

x^{3}+x^{2}-5x-6

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

Pc=\frac{\pm (1, 2, 3, 6)}{\pm (1)}=\pm (1, 2, 3, 6)

Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.

Regla de Ruffini (división algebraica)

Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).

\begin{array}{c|rrrr} {} & 1 & 1 & -5 & -6 \\ -2 & {} & {-2} & {2} & {6} \\ \hline {} & 1 & {-1} & {-3} & {0} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos

Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2
Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x2-x-3 .
Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.

Resultado final

El resultado final es el el siguiente:
(x+2)(x^{2}-x-3)
Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.

Caso XI Triángulo de Pascal y factorización

Conociendo el desarrollo del [Triángulo de Pascal], podemos obtener factorizaciones muy sencillas.

Así por ejemplo, tenemos:
Ejemplo 1:
8+36x+54x^2+27x^3=(1)\cdot 2^3+(3)\cdot 2^2 \cdot 3x+(3) \cdot 2 \cdot 3^2x^2+(1) \cdot 3^3x^3=(2+3x)^3
Ejemplo 2:
1+4x+6x^2+4x^3+x^4=(1+x)^4
Ejemplo 3:
1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4=(a+b)^4
Ejemplo 4:
1z^5+5z^4y+10z^3y^2+10z^2y^3+5zy^4+1y^5=(z+y)^5
El principio es muy similar al que genera la primera fórmula notable, o trinomio cuadrado perfecto.
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