CUARTA CLASE DE CONJUNTOS

CUARTA CLASE DE CONJUNTOS

EJEMPLOS DE CONJUNTOS COMO PROBLEMAS

En una escuela de 135 alumnos , 90 practicaron fútbol 55 basquear y 75 natación. Si 20 alumnos practican los tres deportes y 10 no practican ninguno. ¿cuantos alumnos practican un deporte y solo uno? 

a) 50 R       b) 55    c) 60       d) 70     e) 65      

TERCERA CLASE DE CONJUNTOS Venn-Euler

TERCERA CLASE DE CONJUNTOS Venn-Euler

1._ Construir los diagramas de Venn-Euler

2.-

3._ 

4._ 

LOS CONJUNTOS CLASES RECUPERACION

LOS CONJUNTOS CLASES RECUPERACION

* Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo.

* Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros de un conjunto.

* Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

* Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.

ejemplo:    V ={ a, e, i, o, u }                  P ={ mercurio, venus }

                 un conjunto con cinco elementos.

*Un conjunto no posee elementos repetidos.

RELACIÓN PERTENENCIA

ejemplo:                                        

                                        

a ϵ v ( a pertenece a v )

bv( b no pertenece a v )

FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO

• Para indicar un conjunto se utilizan llaves.

CONJUNTO VACÍO: -Es aquel que no contiene elementos.

                                      -Representación: o { }

ejemplo: B ={ x/x EN^2x=1 }      

B es un conjunto que no contiene elementos dado que ningún número natural multiplicado por 2 puede dar como resultado 1.

  B ={ }

B =

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

* Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto.

ejemplo:

La cardinalidad de A ={ x/x es una vocal } es 5

La cardinalidad de M ={ x/x es un mes del año } es 12

IGUALDAD DE CONJUNTOS

* Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si ambos son vacíos.

* Dados los conjuntos

A ={ O, 3 }                                           A =B                        A ={ 0, 3 }                      

B ={ x/x (x-3) =0 }                                A =C                         B ={ 0, 3 }

C ={ x/x (x-3)(x-1) =10 }                                                       C ={ 0, 1, 3 }

SUBCONJUNTO DE UN CONJUNTO

* Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es tambien elemento de A, decimos que:

- B es un subconjunto de A                   

- B es una parte de A

- B está incluido A

Esto se simboliza como B  A                         

LOS CONJUNTOS

 

LOS CONJUNTOS

LOS CONJUNTOS

 

Un conjunto es una agrupación de objetos, que poseen alguna característica en común. Pero no sólo nos referimos a cosas físicas, como lápices, libros, calculadoras, etc., sino también a elementos abstractos como números ó letras, entre otros.

A los objetos se les llama elementos del conjunto.

Si tenemos el siguiente conjunto:

C = {1, 2, 3, 4}, decimos que los elementos del conjunto “C” son los números: 1, 2, 3 y 4.

Con frecuencia, utilizamos letras mayúsculas A, B, C… para designar al conjunto, y letras minúsculas a, b, c, d…. para referirnos a los elementos que forman parte de ese conjunto. Todos los conjuntos se escriben entre llaves {…}.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Los conjuntos pueden definirse por extensión o por comprensión.

Extensión

Se escriben los elementos que forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y entre paréntesis de llaves.

C = {norte, sur, este, oeste}

Comprensión

Decimos que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo ellos.

C = {x / x es un punto cardinal}
Y se lee de la siguiente manera: “C” es el conjunto de todos los elementos x, tal que x es uno de los puntos cardinales.

Ejemplos:

• A = { x/x es una consonante}
• B = { x/x es un número impar menor que 10}
• C = { x/x es una letra de la palabra feliz}

Para definir un conjunto por compresión, es necesario saber algunos símbolos matemáticos:
1. < “menor que”
2. > “mayor que”
3. / “tal que”
4. ^ “y”

Decimos que dos conjuntos son iguales, sólo si contienen los mismos objetos.

Ejemplo:

• A = { a, e, i, o, u }
• A = { a, e, i, o, u, a}
• C = {x / x es una vocal}

Como se puede ver, los tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes maneras.

Ejemplos por Extensión	Ejemplos por Comprensión
A = { a, e, i, o, u}	A = { x/x es una vocal }
B = { 1, 3, 5, 7, 9}	B = { x/x es un número impar menor que 10 }
D = { f, e, l, i, z}	D = { x/x es una letra de la palabra feliz }
E = { b, c, d, f, g, h, j, k . . . }	E = { x/x es una consonante }
G = {venus, marte,…}	G = {x/x es un planeta}

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Un elemento puede pertenecer o no a un conjunto dado.

Para señalar se un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo y, para decir que no pertenece el símbolo .

Ejemplo:

Sea A = { a, e, o, u }

• a A …se lee: a pertenece al conjunto A
• i A …se lee: i no pertenece al conjunto A

Un conjunto puede ser o no subconjunto de otro

Un conjunto A es subconjunto de B (o está incluido en B), si todos los elementos de A pertenecen a B.

Notación: A B; se lee: A es subconjunto de B

TIPOS DE CONJUNTOS

Conjunto Vacío

Es el que no posee elementos. También se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: ó { }

B = ó B = { } se lee: B es el conjunto vacío ó B es el conjunto nulo

Conjunto Unitario

Es el que tiene un único elemento

Conjunto Universo

Se llama así al conjunto formado por todos los elementos

Ejemplo

U = {a, e, i, o, u}

A={a, e}

B={a, i, o, u}

SIMBOLOS MATEMÁTICAS

SIMBOLOS

MATEMÁTICAS

Mas ejemplos de tablas de verdad

(p → q)^(q → r)→(p → r) 

  

┐(p^q)↔ ┐p ^ ┐q

(p → q)^q → q

*Enuncie cada proposición en forma de proposición condicional.

a) María será una buena estudiante sólo si estudia mucho.

b) Juan puede cursar cálculo sólo si está en su segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.

c) Cuando cantas, me duelen los oídos.

Resolución.-

a) Si María estudia mucho entonces será una buena estudiante.

b) Si Juan cursa cálculo, entonces está en segundo, tercer o cuarto año de estudio de licenciatura.

c) Si cantas entonces me duelen los oídos.

TAUTOLOGICAS - CONTRADICCIONES - CONTINGENCIA

 Tautologías, Contradicción y Contingencia.

♦Con cinco conectivas lógicas básicas se construyen proposiciones compuestas que pueden ser tautologías, contradicciones o contingencias.

• Si la tabla de verdad de la proposición es siempre verdadera, independientemente de la verdad o falsedad de las proposiciones simples, entonces la expresión es tautológica.

• Si la tabla de verdad es siempre falsa, será una contradicción.

• Si es verdadera y falsa, la proposición es una contingencia.

↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓   ↓

•TAUTOLOGÍA: 

 Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad  para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

•CONTRADICCIÓN: 

 Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:

•CONTINGENCIA: 

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, (combinación entre tautología y contradicción) según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:

TABLAS DE VERDAD

TABLAS DE VERDAD

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, por ejemplo:

P	Ø P
1	0
0	1

La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos Para que la conjunción p^q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P	Q	^Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P	Q	PVQ
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	0

Bicondicional:El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

P	Q	P®Q
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	1

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, por ejemplo:

P	Ø P
1	0
0	1

La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos Para que la conjunción p^q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P	Q	^Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P	Q	PVQ
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	0

Bicondicional:El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

P	Q	P®Q
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	1

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.
Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.
Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.
Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

La conjunción sirve para indicar que se cumplen dos condiciones simultáneamente, por ejemplo:

P	Ø P
1	0
0	1

La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos Para que la conjunción p^q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad.
Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P	Q	^Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representan dos expresiones que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P	Q	PVQ
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	0

Bicondicional:El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

P	Q	P®Q
1	1	1
1	0	1
1	1	1
0	0	1

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.¹
Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,Ø, Ù, Ú, ®, «,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.

Negación: 

El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

P	Ø P
1	0
0	1

 

Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P	Q	P Ú Q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0