MATEMATICA

domingo, 2 de febrero de 2014

Factorización

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

Factor común
Triángulo de Pascal como guía para factorizar

Caso 1 - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

$a^2+a b = a (a+b)$

$9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)$

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,$

$ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,$ y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,$

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) \,$

La respuesta es:

$(5x^2+3x+7)(x-y) \,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b \,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) \,$

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj\,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,$

Aplicamos el caso I (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j)\,$

$= (2+3x)(y+j)\,$

Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,$

Ejemplo 2:

$(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,$

Ejemplo 3:

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,$

Ejemplo 4:

$4x^2+25y^2-20xy\,$

Organizando los términos tenemos

$4x^2 - 20xy + 25y^2\,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x - 5y)^2\,$

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

$(ay-bx)(ay+bx)= (ay)^2-(bx)^2 \,$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,$

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

$(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= \,$

$((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= \,$

$((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) \,$

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

No se pudo entender(error léxico): x²+xy+y²=x²+xy+y²+(xy-xy)=x²+2xy+y²-xy=(x+y)²-xy\,

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,$

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
$4x^2+12x+9\,$
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x²) :
$4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\$
$4^2x^2+12x(4)+36\,$
Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :
$6\cdot6=36$
$6+6=12\,$
Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
$(4x+6)(4x+6)\,$
Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :
$\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\,$ : $=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,$
Queda así terminada la factorización :
$(2x+3)(2x+3)\,$ : $=(2x+3)^2\,$

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,$

Caso X - Divisores binómicos

Su proceso consiste en los siguientes pasos.

Posibles ceros

Artículo principal: Divisores binómicos

En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente^[1] entre los divisores del coeficiente principal^[2] y se dividen uno por uno.
Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explicara con el siguiente ejemplo.

Si el enunciado es este:

$x^{3}+x^{2}-5x-6$

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

$Pc=\frac{\pm (1, 2, 3, 6)}{\pm (1)}=\pm (1, 2, 3, 6)$

Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue divido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.

Regla de Ruffini (división algebraica)

Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado y como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir de residuo cero).

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 1 & 1 & -5 & -6 \\ -2 & {} & {-2} & {2} & {6} \\ \hline {} & 1 & {-1} & {-3} & {0} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}$

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos

Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2
Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x²-x-3 .
Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.

Resultado final

El resultado final es el el siguiente:

$(x+2)(x^{2}-x-3)$

Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.

Caso XI Triángulo de Pascal y factorización

Conociendo el desarrollo del [Triángulo de Pascal], podemos obtener factorizaciones muy sencillas.

Así por ejemplo, tenemos:
Ejemplo 1:

$8+36x+54x^2+27x^3=(1)\cdot 2^3+(3)\cdot 2^2 \cdot 3x+(3) \cdot 2 \cdot 3^2x^2+(1) \cdot 3^3x^3=(2+3x)^3$

Ejemplo 2:

$1+4x+6x^2+4x^3+x^4=(1+x)^4$

Ejemplo 3:

$1a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+1b^4=(a+b)^4$

Ejemplo 4:

$1z^5+5z^4y+10z^3y^2+10z^2y^3+5zy^4+1y^5=(z+y)^5$

El principio es muy similar al que genera la primera fórmula notable, o trinomio cuadrado perfecto.

LA DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

El determinante de una matriz A(n,n), es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.
(Nota: En matrices de segundo y tercer orden suele ser utilizado el método conocido como regla de Sarrus.)

A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores).
Algoritmo:

siendo n igual al nú:mero de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original. Ejemplo de un determinante de segundo orden:

    Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos :     paso 1:     a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2.
    paso 2:     a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3.
    es decir ...

Si la matriz fuese del tipo:

el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:

después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...

y por tanto ... |A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87
En SPSS lo explicitamos como:

compute A={1,-3,-2;4,-1,0;4,3,-5}. print (det(A)).

Cuando el determinante de una matriz resulta igual a 0 se dice que la matriz es no singular

MATRIZ INVERSA

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que:

$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_{n}$ ,

donde I_n es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo.

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Ejemplos

Matriz de dos filas

Por ejemplo la inversa de la matriz

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \quad = \quad \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$

porque

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Propiedades de la matriz inversa

La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

$\left (A \cdot B \right ) ^{-1} = {B}^{-1} \cdot {A}^{-1}$

Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

$\left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}$

Y, evidentemente:

$\left(A^{-1}\right)^{-1} = A$

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

${A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A^{T}) \$

donde ${ {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}}$ es el determinante de A y $\operatorname{adj}{(A)} \$ es la matriz de adjuntos de A.

LA REGLA DE SARRUS

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus..

Considérese la matriz 3×3:

$M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:
En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + \; a_{12} a_{23} a_{31} + \; a_{13} a_{21} a_{32} - \; a_{31} a_{22} a_{13} - \; a_{32} a_{23} a_{11} - \; a_{33} a_{21} a_{12}$

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y ha sido conocido que no puede aplicar para matrices mayores a 3×3. Sin embargo, en octubre del año 2000, el matemático Gustavo Villalobos Hernández de la Universidad de Guadalajara, en México, encontró un método para calcular el determinante de una matriz de 4×4, sin reducir a determinantes de 3×3 con la matriz adjunta y el menor complementario. Su resultado es una extensión completa de la Regla de Sarrus, ya que utiliza el mismo método, obteniendo directamente los 24 términos requeridos para su cálculo.

Método de Sarrus

El método de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales pelaarals con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

MATRICES

Para otros usos de este término, véase Matriz. En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Ejemplo

Dada la matriz $A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

es una matriz de tamaño $4\times 3$ . La entrada $a_{23}\,\!$ es 7.
La matriz $R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})$

$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

es una matriz de tamaño $1\times 9$ : un vector fila con 9 entradas.

Suma o adición

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .
Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & 6 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales
	Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Rectangular
Matriz Transpuesta
Matriz Nula
Matriz Cuadrada

CLASES DE MATRICES CUADRADAS

Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Matriz diagonal
Matriz escalar
Matriz identidad o unidad
Matriz regular
Matriz singular
Matriz idempotente
Matriz involutiva
Matriz simétrica
Matriz antisimetrica o hemisimetrica
Matriz ortogonal

domingo, 2 de febrero de 2014

Factorización

Factorización

Caso 1 - Factor común

Factor común monomio

Factor común polinomio

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

Caso X - Divisores binómicos

Posibles ceros

Regla de Ruffini (división algebraica)

Dos términos

Primer término

Segundo término

Resultado final